Nombre hypercomplexe

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En mathématiques, le terme nombre hypercomplexe est utilisé pour désigner les éléments des algèbres qui sont étendues ou qui vont plus loin que l'arithmétique des nombres complexes. Les nombres hypercomplexes ont eu un grand nombre de partisans incluant Hermann Hankel, Georg Frobenius, Eduard Study et Elie Cartan. L'étude des systèmes hypercomplexes particuliers conduit à leur représentation avec l'algèbre linéaire. Cet article donne une vue d'ensemble des différents systèmes, incluant certains types qui n'ont pas été considérés par les pionniers avant la perception moderne issue de l'algèbre linéaire. Pour les détails, les références et les sources, suivre le lien associé au nombre particulier.

Des nombres avec une dimensionnalité

L’usage le plus commun du terme nombre hypercomplexe fait référence sans doute aux systèmes algébriques avec une dimensionnalité (axes), comme ceux contenus dans la liste suivante. Pour les autres (comme les nombres transfinis, les nombres superréels, les nombres hyperréels, les nombres surréels), voir sous l'entrée nombre.

Malgré leurs différentes propriétés algébriques, aucune algèbre hypercomplexe n’a de structure de corps algébrique, car elle formerait alors une extension algébrique du corps des complexes $\mathbb C$ , ce qui est absurde, $\mathbb C$ étant algébriquement clos. Cette propriété transparaît dans l'absence de commutativité de ces algèbres.

Nombres distributifs avec un axe réels et n axes non-réels

Une définition accessible et moderne d'un nombre hypercomplexe est donnée par Kantor et Solodovnikov (voir la référence complète ci-dessous). Ils sont éléments de systèmes de nombres unitaires et distributifs qui contiennent au moins un axe non-réel et sont clos pour l’addition et pour la multiplication. Les axes sont générés par les coefficients réels $(a_0, ..., a_n)\,$ de bases $\{ 1, i_1, ..., i_n \}\,$ ( $n \in \{ 1, 2, 3... \}\,$ ). Les coefficients sont distributifs, associatifs et commutatifs avec les bases réelles ( $1\,$ ) et les bases non-réelles ( $i_n\,$ ). Trois types de $i_n\,$ sont possibles : $i_n^2 \in \{ -1, 0, +1 \}\,$ .

D’un point de vue géometrique, ces nombres forment des algèbres sur les nombres réels de dimension finie.

Les classifications suivantes obéissent à cette catégorie. Le terme « hypernombre » est synonyme de « nombre hypercomplexe » comme défini par Kantor et Solodovnikov (mais voir ci-dessous les hypernombres muséens, certains de ceux-ci ne sont pas distributifs ou n'incluent pas d'axe de nombre réel).

Quaternion, octonion et au-delà : la construction de Cayley-Dickson

Les nombres hypercomplexes sont obtenus en généralisant plus avant la construction des nombres complexes à partir des nombres réels par la construction de Cayley-Dickson.

Celle-ci permet d’étendre les nombres complexes en systèmes de nombres de dimensionnalité $2^n\,$ ( $n \in \{ 2, 3, 4, ...\}\,$ ). Ceux-ci incluent le système à quatre dimensions : les quaternions, le système à huit dimensions : les octonions et le système à 16 dimensions : les sédénions.

Augmenter la dimensionnalité introduit des complications algébriques : la multiplication des quaternions n’est plus commutative, la multiplication des octonions est, de plus, non-associative et les sédénions sont non-normés.

Dans la définition de Kantor et Solodovnikov, ces nombres correspondent aux bases anti-commutatives de type $i_m^2 = -1\,$ (avec $m \in \{1, ..., 2^n - 1 \}\,$ ).

Puisque les quaternions et les octonions offrent une norme (multiplicative) similaire aux longueurs des espaces vectoriels euclidiens de dimensions quatre et huit respectivement, ils peuvent être associés à des points dans certains espaces euclidiens de dimensions plus élevées. Au-delà des octonions, par contre, cette analogie tombe puisque ces constructions ne sont plus normées.

On peut créer une infinité d’algèbres du même type en appliquant la construction de Cayley-Dickson à l’algèbre de rang inférieur. Quelques propriétés intéressantes sont à noter :

À chaque rang, les dimensions des nombres sont doublées ;
À chaque rang, une propriété est perdue.

n	2ⁿ	nom	limite
0	1	réels	-
1	2	complexes	perte de la comparaison
2	4	quaternions	perte de la commutativité
3	8	octonions	perte de l'associativité
4	16	sédénions	perte de l'alternativité

Après les octonions, les algèbres contiennent des diviseurs de zéro (x · y = 0 n'implique plus x = 0 ou y = 0), ce qui implique que leurs multiplications ne conservent plus les normes.

Nombre dual

Les nombres duaux sont de bases $\{ 1, \varepsilon \}\,$ avec l'élément nilpotent $\varepsilon^2 = 0\,$ .

Algèbre complexe fendue

Les nombres complexes fendus sont de bases $\{ 1, i \}\,$ avec $i^2 = +1\,$ une racine non-réelle de 1. Ils contiennent les éléments idempotents $\frac{1}{2} (1 \pm i)\,$ et des diviseurs de zéro $(1 + i)(1 - i) = 0\,$ .

Une construction de Cayley-Dickson modifiée conduit aux coquaternions (quaternions fendus, c’est-à-dire de bases $\{ 1, i_1, i_2, i_3 \}\,$ avec $i_1^2 = i_2^2 = +1\,$ , $i_3^2 = -1\,$ ) et aux octonions fendus (c'est-à-dire de bases $\{ 1, i_1, ... , i_7 \}\,$ avec $i_1^2 = i_2^2 = i_3^2 = -1\,$ , $i_4^2 = ... = i_7^2 = +1\,$ ). Les coquaternions contiennent des éléments nilpotents et ont une multiplication non-commutative. Les octonions fendus sont aussi non-associatifs.

Toutes les bases non-réelles d'algèbres complexes fendues sont anti-commutatives.

Algèbre de Clifford

Une algèbre de Clifford est une algèbre unitaire, associative sur les espaces vectoriels réels, complexes ou quaternionique muni d'une forme quadratique. Alors que les constructions de Cayley-Dickson et complexes fendues avec huit ou plus de dimensions ne sont plus associatives en respectant la multiplication, les algèbres de Clifford conservent l’associativité pour toute dimensionnalité.

Tessarine, biquaternion et sédénion conique

Tandis que pour les constructions de Cayley-Dickson, l’algèbre complexe fendue et l’algèbre de Clifford, toutes de bases non-réelles sont anti-commutative, l’utilisation d’une base imaginaire commutative conduit aux tessarines à quatre dimensions, aux biquaternions à huit dimensions et aux sédénions coniques à 16 dimensions.

Les tessarines offrent une multiplication commutative et associative, les biquaternions sont associatifs mais non commutatifs et les sédénions coniques sont non-associatifs et non-commutatifs. Ils contiennent tous des éléments idempotents et des diviseurs de zéro, sont tous non-normés, mais offrent un module multiplicatif. Les biquaternions contiennent des éléments nilpotents, les sédénions coniques sont aussi non-associatif de puissance.

Compte tenu de l’exception de leurs éléments idempotents, des diviseurs de zéro et des éléments nilpotents, l’arithmétique de ces nombres est close pour la multiplication, pour la division, pour l’exponentiation et pour les logarithmes (voir les quaternions coniques, qui sont isomorphes aux tessarines).

Quaternion hyperbolique de A. MacFarlane

Les quaternions hyperboliques d’Alexander MacFarlane ont une multiplication non-associative et non-commutative. Néanmoins, ils offrent une structure d’anneau plus riche que l’espace de Minkowski de la relativité restreinte. Toutes les bases sont des racines de 1, c’est-à-dire $i_n^2 = +1\,$ pour $n \in \{ 1, 2, 3 \}\,$ .

Hypernombre muséen

Alors que Kantor et Solodovnikov généralisent la multiplication pour les nombres de plus d’une dimension à travers les produits distributifs rectangulaires (coordonnées cartésiennes), les hypernombres après Charles A. Musès utilise une approche de généralisation au sens de valeurs absolues et d’angles.

Les hypernombres muséens sont organisés en “niveaux” qui correspondent à différentes propriétés algébriques. Tandis que les arithmétiques construites sur les trois niveaux (base réelle, base imaginaire $i^2 = -1\,$ , et base contre-imaginaire $\varepsilon = \sqrt{+1} \ne \pm 1\,$ ) sont contenues dans la définition de Kantor et Solodovnikov (voir hypernombre pour les isomorphismes avec les nombres mentionnés ci-dessus), les niveaux restants offrent des propriétés arithmétiques supplémentaires. Par exemple, elles ne sont pas nécessairement distributives, et n’ont pas toutes un axe réel.

Nombre multicomplexe

Les nombres multicomplexes sont une algèbre à n dimensions commutative générée par un élément $e\,$ qui satisfait $e^n = -1\,$ . Les nombres bicomplexes sont un cas particulier, ils sont isomorphes aux tessarines, aux quaternions coniques (à partir des hypernombres de Musès) et sont aussi contenus dans la définition des « nombres hypercomplexes » par Kantor et Solodovnikov.

Histoire

Les quaternions furent inventés par l'irlandais William Rowan Hamilton en 1843. Hamilton recherchait des manières d'étendre les nombres complexes (qui peuvent être assimilés à des points d'un plan) à des dimensions plus élevées de l'espace euclidien ( $\mathbb R^n$ ). Il ne réussit pas à le faire pour la dimension trois, mais la dimension quatre produisit les quaternions.

Cette découverte entraîna l'abandon de l'utilisation exclusive des lois commutatives, une avancée radicale pour l'époque. Les vecteurs et les matrices faisaient encore partie du futur, mais Hamilton venait en quelque sorte d'introduire le produit vectoriel et le produit scalaire des vecteurs.

Hamilton décrivit un quaternion comme quadruplet de nombres réels, le premier élément étant un « scalaire », et les trois éléments restants formant un « vecteur », ou « imaginaire pur ».

À la fin de l'année 1843, John Graves et Arthur Cayley découvrent indépendamment une algèbre de dimension huit : les octonions. Celle-ci n'est pas associative.

Références

I. L. Kantor, A. S. Solodovnikov, Hypercomplex Numbers : An Elementary Introduction to Algebras, c. 1989, New York: Springer-Verlag, traduit en anglais par A. Shenitzer (original en russe).

Notion de nombre
Ensembles usuels		Extensions
ℕ ensemble des entiers naturels ℤ groupe des entiers relatifs D ensemble des décimaux ℚ corps des rationnels ℝ corps des réels ℂ corps des complexes		ℍ algèbre des quaternions O algèbre des octonions S algèbre des sédénions autres hypercomplexes ℚ_p corps des p-adiques hyperréels et superréels ordinaux et cardinaux surréels et pseudoréels
$\scriptstyle\mathbb{N}\ \sub\ \mathbb{Z}\ \sub\ \mathbb{D}\ \sub\ \mathbb{Q}\ \sub\ \mathbb{R}\ \sub\ \mathbb{C}$
Propriétés particulières
pair ou impair • premier ou composé • carré • parfait positif ou négatif • dyadique • irrationnel algébrique ou transcendant • imaginaire pur nombre de Liouville • normal • univers constructible • calculable • transfini • infiniment petit
Exemples d'importance historique
π : $\sqrt 2$ : φ : 0 : $i$ : e : ℵ₀ :	constante d'Archimède racine carrée de deux nombre d'or zéro unité imaginaire constante de Neper aleph-zéro	(≈ 3,141592654…) (≈ 1,414213562…) (≈ 1,618033989…) de carré valant −1 (≈ 2,718281828…) premier cardinal infini
autres constantes mathématiques
Notions connexes
chiffre • numération • fraction • opération • calcul • algèbre arithmétique • suite d'entiers • ∞ infini • chiffre significatif

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