Pi

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Si le diamètre du cercle est 1, sa circonférence est π.

Le nombre pi, noté par la lettre grecque du même nom π (toujours en minuscule) est le rapport constant^[1] entre la circonférence d'un cercle et son diamètre. Il est appelé aussi constante d'Archimède. Des valeurs approchées de π courantes sont π ≈ 3,14, π ≈ 3,1416, π ≈ 22/7.

Le nombre π est aussi le rapport constant entre l'aire d'un disque et le carré de son rayon.

Mais π est un nombre irrationnel, c'est-à-dire qu'il n'est pas le rapport de deux nombres entiers. En fait, ce nombre est transcendant^[2]. Ceci signifie qu'il n'existe pas de polynôme non nul à coefficients entiers dont π soit une racine.

La transcendance de π établit l'impossibilité de résoudre le problème de la quadrature du cercle : il est impossible de construire, à l'aide de la règle et du compas seulement, un carré dont la surface est rigoureusement égale à la surface d'un disque donné.

Histoire

Premiers calculs

Il semble que, très tôt, les mathématiciens aient été convaincus qu'il existait un rapport constant entre le périmètre du cercle et son diamètre, ainsi qu'entre l'aire du disque et le carré du diamètre. Des tablettes babyloniennes datant de 2000 ans avant J.C. et découvertes en 1936 ^[3] présentent des calculs d'aire conduisant à une valeur de π de 3+1/8. La tablette propose un premier calcul qui utilise une valeur de π égale à 3. Ce calcul est suivi d'un autre présentant un facteur correctif de 1/(57/60+36/3600).

Première approximation de π : 3

Seconde approximation de π : $3\times \frac{1}{57/60 + 36/3600} = 3 \times \frac{25}{24} = 3 + \frac 18 = 3,125$

Approximation de pi par Ahmes

Découvert en 1855, le papyrus de Rhind contient le texte, recopié vers l'an 1650 avant notre ère par le scribe égyptien Ahmès, d'un manuel de problèmes pédagogique plus ancien encore. On y trouve une méthode pour évaluer l'aire d'un disque en prenant le carré dont le côté est égal au diamètre du disque diminué d'un neuvième. Cette méthode conduit à une évaluation de π de 256/81. Dans l'illustration ci-contre, le disque a pour diamètre 9. L'aire du disque est légèrement supérieure à l'aire de l'octogone irrégulier obtenu en rognant les coins du carré de côté 9. Cet octogone a pour aire 63, l'aire du disque est alors évaluée à 64 soit l'aire d'un carré de côté 8.

Approximation de π : $\pi = \frac{A}{r^2}=\frac{64}{(9/2)^2} = \frac{256}{81}\approx 3,1605$

Mais ni chez les Babyloniens, ni chez les Égyptiens, on ne décèle une volonté de mettre en évidence un nombre ni de montrer que le rapport entre l'aire du disque et le carré du rayon est le même que le rapport entre la circonférence du cercle et son diamètre.

Formule qu'il reste à prouver : $\pi = \frac{A}{r^2}=\frac pd$

C'est chez Archimède, dans son traité De la mesure du cercle ^[4]que l'on peut lire une démonstration liant l'aire du disque et l'aire du triangle ayant pour base le périmètre du cercle et pour hauteur le rayon.

Aire du disque = $\scriptstyle \frac12$ circonférence × rayon = $\scriptstyle \frac12 \pi\times d \times r = \pi r^2$

C'est ainsi qu'il prouve que le même nombre s'utilise dans les deux formules. Dans ce même traité, Archimède prouve que le rapport entre le périmètre du cercle et son diamètre est compris entre 3 + 10/71 et 3 + 1/7.

Encadrement de π : 3,1408 < π < 3,1429

La première démonstration s'appuie sur la méthode d'exhaustion et un raisonnement par l'absurde. En partant d'un carré inscrit dans le cercle et d'un carré circonscrit au cercle et en multipliant indéfiniment par 2 le nombre de côtés, il prouve que l'aire du disque ne peut être inférieure ni supérieure à celle du triangle correspondant.

Sa démonstration exploite l'idée du découpage en quartiers : le cercle est découpé en plusieurs quartiers qui, mis bout à bout, dessinent des triangles curvilignes de même hauteur. En multipliant le nombre de quartiers, la base des triangles curvilignes est presque droite et la hauteur est proche du rayon, la somme des bases correspond alors au diamètre du cercle et l'aire est alors de 1/2 de la base multipliée par la hauteur, c'est-à-dire 1/2 du périmètre multiplié par le rayon.

La seconde démonstration consiste à encadrer le périmètre du cercle par le périmètre de polygones réguliers inscrit et circonscrit au cercle et possédant 96 côtés. Pour calculer les périmètres de ces polygones, il part d'hexagones inscrit et circonscrit et met en évidence les formules donnant le périmètre d'un polygone dont le nombre de côté a doublé. Archimède s'arrête à 96 côtés car les calculs qu'il est amené à effectuer, avec valeurs approchées, sont déjà long pour l'époque. Mais il met en place ainsi une méthode qui sera reprise par ses successeurs et qui peut en théorie être poursuivie indéfiniment.

Formules d'Archimède

Propriété de la bissectrice

Archimède utilise une propriété liant le pied d'une bissectrice aux côtés adjacents : Dans la figure ci-contre SS' est la bissectrice de l'angle de sommet S

$\frac xa = \frac yb = \frac {x+y}{a+b}$

Polygone circonscrit

Pour le polygone circonscrit. Dans la figure ci-dessous (gauche), $c 1$ et $c 2$ sont les demi-côtés de deux polygones circonscrits consécutifs. Archimède montre, en utilisant la propriété précédente, que

$\frac{c_1}{c_2} = 1 + \frac{d_1}{r}$

$\frac{d_1}{r} = \sqrt{1+\left(\dfrac{c_1}{r}\right)^2}$

et réitère 4 fois l'opération à partir de l'hexagone.

Polygone inscrit

Pour le polygone inscrit. Dans la figure ci-contre,

c 1

c 2

sont les côtés de deux polygones inscrits consécutifs. Archimède montre, en utilisant les triangles semblables et la propriété de la bissectrice que

$\frac{d_2}{c_2} = \frac{2r}{y}=\dfrac{2r}{c_1}+ \frac{d_1}{c_1}$

$\frac{2r}{c_2} = \sqrt{1+\left(\dfrac{d_2}{c_2}\right)^2}$

De nos jours, les formules trigonométriques permettent de simplifier l'algorithme d'Archimède. Les périmètres $p i$ et $P i$ des polygones inscrits et circonscrits vérifient les relations de récurrence suivantes

$\frac{1}{P_{n+1}} = \frac12 \left(\frac{1}{p_n} + \frac{1}{P_n}\right)$

$p_{n+1} = \sqrt{p_nP_{n+1}}$

En effet, pour un cercle de rayon 1, si on note $a n$ la moitié de l'angle au centre des polygones à l'étape n, on sait que

$p_n=2n\sin(a_n)\,$

$P_n=2n\tan(a_n)\,$

$p_{n+1} = 4n\sin(a_n/2)\,$

$P_{n+1} = 4n\tan(a_n/2)\,$

$\frac12 \left(\frac{1}{p_n} + \frac{1}{P_n}\right) = \frac{1}{4n}\frac{1+\cos(a_n)}{\sin(a_n)} = \frac{1}{4n}\frac{2\cos^2(a_n)}{2\sin(a_n/2)\cos(a_n/2)} = \frac{1}{4n}\frac{1}{\tan(a_n/2)}= \frac{1}{P_{n+1}}$

$\sqrt{p_nP_{n+1}}= \sqrt{8n^2\sin(a_n)\frac{\sin(a_n/2)}{cos(a_n/2}}=\sqrt{16n^2\sin^2(a_n/2)} = 4n\sin(a_n/2) = p_{n+1}$

Ce n'est cependant pas Archimède qui attribue à ce rapport la lettre grecque "π", première lettre des mots grecs περιφέρεια (périphérie) et περίμετρος (périmètre, c'est-à-dire circonférence) mais William Jones en 1706. Cette notation, reprise par Euler en 1736, est définitivement adoptée dès la fin du XVIII^e siècle ^[5].

À la conquête des décimales

Encadrement de Liu Hui. Méthode développée dans en:Liu Hui's π algorithm.

Si les calculs pratiques peuvent se satisfaire de la valeur 3,14 comme bonne approximation de π, la curiosité des mathématiciens les pousse à déterminer ce nombre avec plus de précision. Au III^e siècle, en Chine, Liu Hui, commentateur des Neuf chapitres, propose comme rapport entre le périmètre et le diamètre la valeur pratique de 3 mais développe des calculs proches de ceux d'Archimède mais plus performants et fournit une approximation de π de 3,1416 ^[6]. Le mathématicien chinois Zu Chongzhi donna une approximation rationnelle encore plus précise de π^[7] : π ≈ 355/113 ≈ 3,1415929.

En Perse, en 1429, Al-Kashi calcule 14 décimales de π. En 1596, toujours avec des méthodes géométriques, l'Allemand Ludolph van Ceulen calcule 20 décimales, puis 34 en 1609. Il est si fier de son exploit (il y consacra une bonne partie de sa vie) qu'il demande à ce que le nombre soit gravé sur sa tombe.

Ensuite, grâce au développement de l'analyse au XVII^e siècle, avec notamment les sommes et produits infinis, le calcul des décimales de Pi s'accélère.

James Gregory(1638 - 1675) découvre la formule suivante

$\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}=...=\sum_{k=o}^{\infty}\frac{(-1)^{k} x^{2k+1}}{2k+1}$

qui permet en prenant $x = 1$ de trouver une approximation de π/4 :

$\pi=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...\right)=4\sum_{k=o}^{\infty}\frac{(-1)^k}{2k+1}$

James Gregory(1638 - 1675)

Gregory ne l'a jamais écrite explicitement, peut-être est-ce parce qu'il avait compris qu'elle n'était guère utile pour calculer π. En effet, la précision du calcul est de 1/(2n+1), c'est-à-dire qu'il est nécessaire de calculer 500 termes pour n'avoir une erreur que sur la troisième décimale. En fait, la formule pour π avait déjà été proposée vers 1410 par le mathématicien indien Madhava of Sangamagramma (1350-1425) qui calcule ainsi 11 décimales de π ^[8]. Gregory propose aussi une méthode itérative de calcul de π qui utilise des polygones réguliers à $n$ cotés, mais qui fait intervenir l'aire au lieu du périmètre. Si l'on note $A n$ et $B n$ les aires des polygones réguliers à n côtés inscrit et circonscrit à un cercle de rayon 1, on trouve les relations :

$A_{2n}=\sqrt{A_n B_n}\qquad$ et $\qquad B_{2n}=\frac{2B_n A_{2n}}{(B_n+A_{2n})}$

qui conduisent à des calculs beaucoup plus efficaces que ceux de la série de Gregory, mais ne donnent guère mieux que la méthode d'Archimède elle-même. Gregory utilise ces calculs pour tenter de prouver que π est transcendant^[9].

Isaac Newton calcule 16 décimales en 1665

En 1706, John Machin utilise la formule qui porte son nom :

$\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}$

et calcule 100 décimales de π ^[10].

Vers 1760, Euler calcule 20 décimales en une heure (à comparer avec la trentaine de décimales obtenue par Van Ceulen en plus de 10 ans de calcul). Le mathématicien slovène Jurij Vega calcule en 1789 les 140 premières décimales π parmi lesquelles 137 sont correctes. Ce record tiendra plus de 50 ans. Il améliore la formule que John Machin avait trouvée en 1706 et sa méthode est toujours mentionnée aujourd'hui. Le mathématicien William Shanks passe 20 ans de sa vie à calculer les décimales de Pi. En 1873, à l'aide de la formule de Machin, il présente 707 décimales de π, mais seules les 528 premières sont correctes. À l'occasion de l'exposition universelle de Paris de 1937, celles-ci furent malheureusement gravées dans la salle π du Palais de la Découverte. L'erreur ne sera détectée qu'en 1945, elle est corrigée depuis.

Le calcul des décimales de π s'emballe au XX^e siècle avec l'apparition de l'informatique : 2 037 décimales sont calculées en 1949 par le calculateur américain ENIAC, 10 000 décimales sont obtenues en 1958, 100 000 en 1961, 1 000 000 en 1973, 10 000 000 en 1982, 100 000 000 en 1989, puis 1 000 000 000 la même année. En 2002, 1 241 100 000 000 décimales étaient connues.

Les approximations très précises de π sont généralement calculées avec l'algorithme de Gauss-Legendre et l'algorithme de Borwein.

Lemniscate de Bernoulli

L'algorithme de Salamin-Brent, donnant un très grand nombre de décimales et inventé en 1976, s'appuie sur un vieux résultat pressenti puis démontré par Gauss. En 1818, celui-ci démontre le lien existant entre la moyenne arithmético-géométrique de 1 et √2 (M(1,√2)), la longueur de la lemniscate de Bernoulli et π. La longueur de la lemniscate est $L=2 \varpi r$ où r représente la distance OA entre le centre et un sommet de la lemniscate et où $\varpi$ est la constante de la lemniscate. Si on note G, la constante de Gauss, c'est-à-dire l'inverse de M(1,√2) alors

$\varpi=\pi G$

L'Américain Eugène Salamin et l'Australien Richard Brent utilisent ce résultat pour un algorithme donnant les décimales de π dont la convergence est quadratique, c'est-à-dire que le nombre de décimales justes double à chaque étape. La conquête des décimales de π avance alors conjointement avec celle des décimales de √2^[11].

On peut voir 1 000 000 de décimales de π et de 1/π sur le Projet Gutenberg (voir liens externes).

Le record actuel est de 1 241 100 000 000 de décimales, déterminées après 600 heures de calcul en novembre 2002 sur un supercalculateur parallèle Hitachi à 64 nœuds, avec 1 téraoctet de mémoire centrale, qui pouvait effectuer 2 000 milliards d'opérations en virgule flottante par seconde, soit près de deux fois plus que pour le précédent record (206 milliards de décimales); les formules de Machin suivantes ont été utilisées pour cela :

$\frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443}$ (K. Takano, 1982)

$\frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943}$ (F. C. W. Störmer, 1896)

Ces approximations sont tellement grandes qu'elles n'ont aucune utilisation pratique, si ce n'est tester les nouveaux supercalculateurs.

D'autres méthodes et algorithmes sont actuellement à l'étude et mis en œuvre comme l'utilisation en parallèle d'ordinateurs connectés sur le réseau Internet.

Parallèlement à ces recherches, d'autres algorithmes se mettent en place pour calculer directement la n^e décimale de π. En 1995, David Bailey, en collaboration avec Peter Borwein et Simon Plouffe, découvre une nouvelle formule de π, une série (souvent appelée formule BBP):

$\pi = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)$

Cette formule permet de calculer facilement la n^e décimale binaire ou hexadécimale de π, sans avoir à calculer les décimales précédentes. Le site de Bailey^[12] en contient la dérivation et l'implémentation dans de nombreux langages de programmation. Grâce à une formule dérivée de la formule BBP, le 4 000 000 000 000 000^e chiffre de π en base 2 a été obtenu en 2001.

Un an plus tard, Simon Plouffe met au point un algorithme permettant le calcul de la n^e décimale de π, mais cette fois-ci en décimal^[13]. Malheureusement, cet algorithme qui permet actuellement de déterminer en base 10 un chiffre précis et isolé de π est moins rapide que celui qui consiste à calculer tous les chiffres décimaux précédents.

De la nature de π

Article détaillé : Quadrature du cercle.

Dès l'époque grecque, la question de la quadrature du cercle est posée :

« Peut-on, uniquement avec une règle non gradué et un compas, construire un carré dont l'aire a même surface que celle d'un disque donné ? »

Le fait que certaines lunules soient quarables a laissé l'espoir aux mathématiciens qu'une telle construction était possible. Réaliser la quadrature du cercle, c'est trouver une méthode permettant, lorsqu'une longueur r est donnée, de construire à la règle et au compas la longueur r√π. Derrière la question de la quadrature du cercle, se pose la question de la nature du nombre π . Les Grecs savaient construire toute longueur en rapport rationnel (rapport de deux entiers) avec une autre, et même la racine carrée de celle-ci. Si π avait été rationnel, le problème aurait été terminé. Mais les Grecs étaient incapables de statuer sur la rationalité ou l'irrationalité de π. De plus, l'irrationalité de π n'aurait prouvé aucune impossibilité pour la construction. En effet, Euclide avait déjà prouvé que √2 était irrationnel ce qui n'empêchait nullement la duplication du carré. Cependant, très rapidement, on pressent qu'un nombre qui ne serait pas solution d'une équation polynomiale à coefficients entiers, c'est-à-dire un nombre transcendant, a peu de chance d'être constructible. Ce pressentiment ne deviendra une certitude que lorsque Pierre-Laurent Wantzel énoncera, en 1837, son théorème sur les nombres constructibles. Une des conséquences de son théorème permet d'affirmer qu'une longueur constructible est toujours un nombre algébrique.

Jean Heni Lambert (1728-1777)

La question à laquelle les mathématiciens doivent répondre est donc double

le nombre π est-il rationnel ?
le nombre π est-il transcendant?

Le développement de π selon la série

$\pi = 8\left(\frac{1}{1\times 3}+\frac{1}{5\times 7}+\frac{1}{9\times 11}+ \cdots \right)$

laisse soupçonner que π n'est pas rationnel mais sans démonstration rigoureuse à l'appui. Les fractions continues généralisées vont fournir la réponse à la question.

En 1761, dans dans son Mémoires sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes, circulaires et logarithmique, Jean Henri Lambert étudie le développement en fraction continue de tan(x) et montre que, lorsque x est rationnel, le développement en fraction continue de tan(m/n) est

$\tan \left(\frac mn\right) = \frac{m \mid}{\mid n} - \frac{m^2 \mid}{\mid 3n} - \frac{m^2 \mid}{\mid 5n} - \frac{m^2 \mid}{\mid 7n} + \cdots$ ^[14]

Par conséquent, lorsque x est rationnel, le développement en fraction continue de tan(x) est illimité. Or on sait qu'un développement illimité conduit à un nombre irrationnel. Bref, quand x est rationnel, tan(x) est irrationnel. Or tan(π/4) vaut 1, c'est un rationnel. Par contraposée, on peut affirmer que π/4 n'est pas rationnel.

Ferdinand von Lindemann (1852 - 1939)

En 1873, Charles Hermite prouve que la base du logarithme népérien le nombre e est transcendant. En 1882, Ferdinand von Lindemann généralise son raisonnement en un théorème (Théorème d'Hermite-Lindemann) qui stipule que, si x est algébrique, alors e^x est transcendant. Or e^iπ = -1 donc e^iπ n'est pas transcendant. Par contraposée, iπ n'est pas algébrique et π est transcendant.

Mais de nombreuses questions se posent encore : π et e sont deux nombres transcendants mais sont-ils algébriquement indépendant ou bien existe-t-il une équation polynomiale à deux variables et à coefficients entiers dont le couple (π, e) soit solution ? La question est encore en suspens. En 1929, Alexandre O Gel'fond prouve que e^π est transcendant ^[15] et en 1996, Yuri Nesterenko prouve que π et e^π sont algébriquement indépendants.

Par ailleurs, le développement décimal de π ouvre le champ à d'autres questions

Existe-t-il un nombre infini de 0? de 1? de 2? etc. dans le développement décimal ?
Les 10 chiffres de l'écriture décimales sont-ils équirépartis ?
π est-il un nombre univers ? C'est-à-dire, peut-on trouver dans le développement décimal de π n'importe quelle séquence de chiffres ?
π est-il un nombre normal ? Les séquence de n chiffres sont-elles équiprobables ?

À ce jour ^[16], il n'existe pas de réponse à ces questions ^[17]

π, grandeur physique ?

La définition de π comme le rapport constant entre la longueur d'un cercle et son diamètre pourrait laisser penser que cette grandeur est une grandeur physique et qu'il suffirait, pour en déterminer une valeur précise, de prendre un cercle assez grand et d'effectuer les deux mesures correspondantes. On peut, par une expérience de l'esprit, imaginer qu'un Chinois, ou un Babylonien, convaincu de cette méthode, se soit rendu sur une surface suffisamment vaste et plane pour effectuer ces mesures. On peut imaginer qu'il ait poursuivi l'expérience en agrandissant fortement le rayon du cercle. Il aurait alors eu la surprise de constater que ce rapport n'était plus constant mais variable, que ce rapport, proche de 3,14 pour un petit cercle, tendait à diminuer quand le rayon du cercle augmentait de façon significative. En effet, les mesures qu'il aurait effectuées sont des mesures effectuées sur la terre, c'est-à-dire sur une sphère. En géométrie sphérique, le rapport circonférence/diamètre n'est pas constant. Le résultat énoncé précédemment n'est valable qu'en géométrie euclidienne. Les physiciens émettent l'hypothèse que notre univers puisse ne pas être euclidien. Dans ce cas, la circonférence d'un cercle physique ne vaudrait pas π multiplié par le diamètre. Mais, quelle que soit la nature globale de notre univers, la théorie de la relativité indique que les masses déforment localement notre espace. La valeur de π × d comme circonférence d'un cercle physique n'est donc qu'une approximation qui ne nécessite pas tous les efforts de précision sur les décimales. Le nombre π n'est donc qu'une constante mathématique utile dans un espace mathématique euclidien. Cette observation a poussé certains mathématiciens à rechercher une définition de π moins concrète.

Formules incluant π

Les formules intéressantes incluant π sont innombrables et apparaissent dans quasiment tous les domaines des mathématiques et des sciences. Une des plus célèbres après celles relevant de la définition géométrique de π est l' identité d'Euler. Cette formule a été décrite comme la formule la "plus remarquable" pour sa propriété de faire intervenir 1, 0, e, i et bien sûr Pi qui sont parmi les nombres les plus "remarquables" des mathématiques.

$e^{i \pi} + 1 = 0\;$

Géométrie

Pi apparaît dans beaucoup de formules de géométrie impliquant les cercles et les sphères

Forme géométrique	Formule
Circonférence d'un cercle de rayon r et de diamètre d	$C = 2 \pi r = \pi d \,\!$
Aire d'un disque de rayon r	$A = \pi r^2 \,\!$
Aire d'une ellipse de demi-axes a et b	$A = \pi a b \,\!$
Volume d'une boule de rayon r	$V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{\pi d^3}{6} \,\!$
Aire surfacique d'une sphère de rayon r	$A = 4 \pi r^2 = \pi d^2 \,\!$
Volume d'un cylindre de hauteur h et de rayon r	$V = \pi r^2 h \,\!$
Aire surfacique d'un cylindre de hauteur h et de rayon r	$A = 2 ( \pi r^2 ) + ( 2 \pi r ) h = 2 \pi r (r + h) \,\!$
Volume d'un cône de hauteur h et de rayon r	$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \,\!$
Aire surfacique d'un cône de hauteur h et de rayon r	$A = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} + \pi r^2 = \pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2}) \,\!$

La surface d'un cylindre circonscrit à la sphère et de même hauteur est la même (bases du cylindre exclues).
π se retrouve aussi dans le calcul des surfaces et volumes des hypersphères (à plus de 3 dimensions). La mesure d'angle 180° (en degrés) est égale à π radians.

En géométrie non euclidienne, la somme des angles d'un triangle peut être supérieure ou inférieure à π, et le rapport de la circonférence du cercle à son diamètre peut aussi être différent de π.

Définitions alternatives

Article détaillé : Exponentielle.

La définition historique et usuelle du nombre π (le rapport de la circonférence d'un cercle et de son diamètre) est parfois gênante pour dégager les propriétés du nombre π, qui dépassent largement le cadre de la géométrie euclidienne. À l'instar des fonctions cosinus et sinus qui sont définies de manière intuitive grâce au cercle trigonométrique mais de manière rigoureuse grâce aux séries entières, nous pouvons introduire une définition analytique de π, ce qui facilite grandement l'étude de ce nombre grâce aux outils de l'analyse.

Les propriétés exp(z+w)=exp(z)exp(w) et exp(0)=1 qui découlent de la définition analytique de l'exponentielle font que que l'application $\scriptstyle t \mapsto \exp(it)$ est un morphisme de groupes continu du groupe $\scriptstyle (\R,+)$ vers le groupe $\scriptstyle (\mathbb{U},\times)$ (où $\scriptstyle \mathbb{U}$ est l'ensemble des complexes de module égal à 1). On démontre alors que l'ensemble des nombres réels t tels que exp(it) = 1 est de la forme $\scriptstyle a\Z$ où a est un réel strictement positif. On pose alors $π = a / 2$ . Le calcul intégral permet ensuite de vérifier que cette définition abstraite correspond bien à celle de la géométrie euclidienne.

Le groupe Bourbaki propose une définition alternative très voisine en démontrant l'existence d'un morphisme de groupe f continu de $\scriptstyle (\R,+)$ vers $\scriptstyle (\mathbb{U},\times)$ tel que f(1/4) = i. Il démontre que ce morphisme est périodique de période 1, dérivable et qu'il existe un réel a tel que, pour tout réel x, f'(x) = 2iaf(x). Il définit π comme le réel ainsi trouvé.

Les deux méthodes précédentes consistent en réalité à rectifier le cercle soit avec la fonction $\scriptstyle t \mapsto e^{it},$ soit avec la fonction $\scriptstyle t \mapsto e^{2i\pi t}$

Mais on peut aussi définir π grâce au calcul intégral en posant

${\pi \over 4} =\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\ dx\,$

ce qui revient à calculer l'aire d'un quart de disque

Ou bien à l'aide du dénombrement, en appelant $\scriptstyle \varphi(n)$ , le nombre de couples d'entiers naturels (k, p) tels que $\scriptstyle k^2+p^2 \le n^2$ et en définissant

$\frac{\pi}{4}= \lim_{\infty} \frac{\varphi(n)}{n^2}$

ce qui est une autre méthode de quarrer le quart de cercle.

Ou bien encore, si la fonction cosinus a été définie formellement soit par sa série entière soit par l'unique solution de l'équation différentielle $y'' = - y 2$ vérifiant $f (0) = 1$ et $f'(0) = 0$ , le nombre π peut être défini comme le plus petit réel positif a tel que cos(a)= - 1.

Enfin, toutes les suites établies dans la section suivante fournissent une définition alternative de π.

Suites et séries

De nombreuses suites ou séries convergent vers π ou un multiple rationnel de π et sont même à l'origine de calculs de valeurs approchées de ce nombre.

Méthode d'Archimède

$\pi = \lim_{n \to \infty} \left( n \cdot \sin \left( { \pi \over n } \right) \right) = \lim_{n \to \infty} \left( n \cdot \tan \left( { \pi \over n } \right) \right)$ .

Les deux suites définies par $\scriptstyle s_n=n\sin(\pi/n)$ , et $\scriptstyle t_n=n\tan(\pi/n)$ , n ≥ 3, représentent les demi-périmètres des polygones réguliers à n côtés, inscrit dans le cercle trigonométrique pour s_n, exinscrit pour t_n. On les exploite par des suites extraites dont l'indice (le nombre de côtés du polygone) double à chaque itération, pour obtenir π par passage à la limite d'expressions utilisant les opérations arithmétiques élémentaires et la racine carrée. Ainsi on peut s'inspirer de la méthode utilisée par Archimède — voir historique du calcul de π — pour donner une définition par récurrence des suites extraites de termes $\scriptstyle s_{2^n}$ et $\scriptstyle t_{2^n}$ ou encore $\scriptstyle s_{3.2^n}$ et $\scriptstyle t_{3.2^n}$ , à l'aide des identités trigonométriques usuelles :

$\begin{array}{lll} t_{2n}=2{s_n\cdot t_n\over s_n+t_n} & t_3=3\sqrt 3& t_4=4\\ s_{2n}=\sqrt{s_n\cdot t_{2n}} & s_3={3\sqrt 3\over 2} & s_4={2\sqrt 2}\,. \end{array}$

En utilisant les identités trigonométriques, $\scriptstyle 2\sin(x/2)=\sqrt{2-\cos(x)}$ et $\scriptstyle 2\cos(x/2)=\sqrt{2+\cos(x)}$ (x ∈ [0,π]), on peut exprimer s_2^k+1 et s_3.2^k (k≥1) par emboîtements successifs de racines carrées. On obtient les formules qui suivent pour π.

π peut alors s'exprimer sous la forme d'une formule où s'emboîtent des racines carrées :

$\pi = \lim_{k \to \infty} \left ( 2^{k} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}}} \right )$ , où k est le nombre de racines carrées emboitées

ou encore :

$\pi = \lim_{k \to \infty} \left ( 3\cdot2^{k-1} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}}}} \right )$ .

Une autre expression de s_2^k+1, qui peut se déduire simplement de la première de ces deux égalités (multiplier par √(2+√…)), conduit au produit infini suivant (formule de François Viète, 1593).

$\frac{\pi}2= \frac{2}{\sqrt2}\cdot \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt2}}\cdot \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}\cdot\cdots$

Sommes et produits infinis

$\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots + \frac{(-1)^k}{2k+1} + \cdots = \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k}{2k+1} = \frac{\pi}{4}$ (formule de Leibniz inspirée de James Gregory)

$\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdot \cdots \cdot \frac{2k + 2}{2k+1} \cdot \frac{2k+2}{2k+3} \cdot \cdots = \frac{\pi}{2}$ (produit de Wallis)

$\frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}$ (formule due à Ramanujan)

$\frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}}$ (formule due à David et Gregory Chudnovsky)

Fonction zêta de Riemann

Article détaillé : Fonction zêta de Riemann.

$\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots + \frac{1}{k^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}$ (Euler)

$\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots + \frac{1}{k^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}$ ,

et plus généralement, Euler indiqua que ζ(2n) est un multiple rationnel de π²ⁿ pour un entier positif n.

Fonction Gamma d'Euler

$\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}$ (fonction gamma d'Euler)

Fraction continue

π peut s'écrire sous forme de fractions continues généralisées remarquables :

$\frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{\cdots}{\cdots + \frac{k^2}{(2k+1) + \cdots}}}}}}}$

$= {1 + {1^{2}\over 2 + {3^{2}\over 2 + {5^{2}\over 2 + {7^{2}\over 2 + {9^{2}\over 2 + {11^{2}\over 2 + ... }}}}}}}$ (William Brouncker)

$\frac{\pi}{2} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1/2 + \frac{1}{1/3+\,\cdots+ \frac{1}{1/n+\,\cdots}}}}$

Les démonstrations ainsi que d'autres représentations sont données dans l'article Fraction continue.

Théorie des nombres

La fréquence d'apparition de paires d'entiers naturels premiers entre eux parmi les paires d'entiers comprises entre 0 et N tend vers 6/π² quand N tend vers l'infini.

Le nombre moyen de façons d'écrire deux entiers positifs quelconques compris entre 0 et N comme la somme de deux carrés parfaits, en tenant compte de l'ordre, tend vers π/4 quand N tend vers l'infini.

$\sum_{k=0}^{n} \varphi (k) \sim 3 n^2 / \pi^2$ où $\varphi\,$ est la fonction indicatrice d'Euler (cf. aussi les suites de Farey).

Probabilité

L'aiguille de Buffon est une expérience de probabilité proposée par Georges-Louis Leclerc, comte de Buffon et consistant à calculer la probabilité qu'une aiguille de longueur a, lancée sur une parquet fait de lattes de largeur l, soit à cheval sur deux lattes, cette probabilité p est

$p = \frac{2a}{\pi\times l}$

Évaluation de π par la méthode de Monte Carlo

La méthode de Monte Carlo est une autre expérience probabiliste consiste à prendre au hasard un point dans un carré de côté 1, la probablité que ce point soit dans le quart de disque de rayon 1 est de π/4.

Les deux formules suivantes, tirées de l'analyse trouvent des applications pratique en probabilité. L'une permet de montrer la convergence de la loi binomiale vers la loi de Gauss et l'autre permet de calculer la densité d'une loi de Gauss.

$n! = \Gamma(n + 1) \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$ (formule de factorielle de Stirling
$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$

Etc

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 0}^{n} \sqrt{x_i} = \frac{2}{\pi}$ presque sûrement, lorsque les x_i sont les itérés de la fonction logistique de paramètre $μ = 4$ appliquée à un réel x₀ choisi dans l'intervalle [0, 1] (c'est-à-dire qu'on définit, pour tout i > 0, $x_{n+1} = 4 x_n(1 - x_n)~$ ).

Autour de π

Retenir π

Un moyen mnémotechnique populaire (mais peu pratique) est le poème^[18] suivant :

Que j'aime à faire apprendre un nombre utile aux sages !

Immortel Archimède, artiste, ingénieur,

Qui de ton jugement peut priser la valeur ?

Pour moi ton problème eut de pareils avantages.

Jadis, mystérieux, un problème bloquait

Tout l'admirable procédé, l'œuvre grandiose

Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs.

Ô quadrature ! Vieux tourment du philosophe

Insoluble rondeur, trop longtemps vous avez

Défié Pythagore et ses imitateurs.

Comment intégrer l'espace plan circulaire ?

Former un triangle auquel il équivaudra ?

Nouvelle invention : Archimède inscrira

Dedans un hexagone ; appréciera son aire

Fonction du rayon. Pas trop ne s'y tiendra :

Dédoublera chaque élément antérieur ;

Toujours de l'orbe calculée approchera ;

Définira limite ; enfin, l'arc, le limiteur

De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle

Professeur, enseignez son problème avec zèle

Le nombre de lettres de chaque mot correspond à une décimale, sauf pour le chiffre "0" dont le codage correspond à un mot de 10 lettres.

En 2005, un Japonais de 59 ans, Akira Haraguchi, a réussi à aligner par cœur 83 431 décimales de π en 13 heures. Il réitéra son record un an plus tard (2006) en mémorisant et récitant publiquement 100 000 décimales pendant 16 heures. Cet exploit a été homologué par le Livre Guinness des records.

Insolite

La somme des 20 premières décimales de π donne exactement 100 et la somme des 144 premières décimales donne exactement ... 666.

Le rapport entre la base de la pyramide de Khéops et sa hauteur serait proche de π/2. En effet, les faces de la pyramide de Khéops, comme celle de Meïdoum ont une pente de 14/11. Le rapport entre la base et la hauteur est donc de 22/14. Si on prend 22/7 comme approximation de π, on retrouve bien effectivement pour ce rapport une valeur proche de π/2. Cependant, d'autres pyramides ont des pentes de 6/5 (pyramide rouge), 4/3 (pyramide de Khephren) ou 7/5 (pyramide rhomboïdale). Le rapport entre la base et la hauteur de ces pyramides donne alors 1,665 , 1,5 ou 1,429 - valeurs très éloignées de π/2. Il faut donc en conclure que, ou bien l'apparition d'une bonne approximation de π/2 est le fait du hasard, ou bien les architectes des autres pyramides étaient de mauvais mathématiciens.

Une tradition anglo-saxonne veut que l'on fête l'anniversaire de π dans certains départements mathématiques des universités le 14 mars . Le 14 mars (3/14 notation anglo-saxonne) est appelée la journée de pi.

Le système logiciel de composition de documents TeX a choisi, en hommage à π, de nommer ses versions du nom des approximations décimales successives de pi. La version actuelle est donc la version 3.1415926

Le nombre premier suivant^[19] correspond aux 38 premiers chiffres de π :

31 415 926 535 897 932 384 626 433 832 795 028 841

Annexes

Notion de nombre
Ensembles usuels		Extensions
ℕ ensemble des entiers naturels ℤ groupe des entiers relatifs D ensemble des décimaux ℚ corps des rationnels ℝ corps des réels ℂ corps des complexes		ℍ algèbre des quaternions O algèbre des octonions S algèbre des sédénions autres hypercomplexes ℚ_p corps des p-adiques hyperréels et superréels ordinaux et cardinaux surréels et pseudoréels
$\scriptstyle\mathbb{N}\ \sub\ \mathbb{Z}\ \sub\ \mathbb{D}\ \sub\ \mathbb{Q}\ \sub\ \mathbb{R}\ \sub\ \mathbb{C}$
Propriétés particulières
pair ou impair • premier ou composé • carré • parfait positif ou négatif • dyadique • irrationnel algébrique ou transcendant • imaginaire pur nombre de Liouville • normal • univers constructible • calculable • transfini • infiniment petit
Exemples d'importance historique
π : $\sqrt 2$ : φ : 0 : $i$ : e : ℵ₀ :	constante d'Archimède racine carrée de deux nombre d'or zéro unité imaginaire constante de Neper aleph-zéro	(≈ 3,141592654…) (≈ 1,414213562…) (≈ 1,618033989…) de carré valant −1 (≈ 2,718281828…) premier cardinal infini
autres constantes mathématiques
Notions connexes
chiffre • numération • fraction • opération • calcul • algèbre arithmétique • suite d'entiers • ∞ infini • chiffre significatif

Wikimedia Commons propose des documents multimédia libres sur Pi.

Notes et références

↑ dans un plan euclidien
↑ Ce qui a été prouvé par Ferdinand Lindemann en 1882 : Lindemann, F. « Über die Zahl π », Mathematische Annalen 20 (1882), pp. 213-225.
↑ Tablettes de Suse - voir par exemple ici
↑ Voir une traduction du texte original
↑ Florian Cajori, A History of Mathematical Notations [détail des éditions] , volume 2, p 9 n° 396 - 398
↑ Karine Chemla, Guo Shuchun, Neuf Chapitres. Le Classique de la Chine ancienne et ses commentaires. Edition critique" [détail des éditions], p144-147
↑ (en) D'après sa biographie sur le site de Mac Tutor, dans son texte Zhui shu.
↑ (en) Biographie de Madhava sur le site de l'université de Saint-Andrew
↑ (en)Squaring the circle sur le site de l'université de Saint Andrews
↑ 26 décimales suffisent pour estimer la taille de l'univers avec une précision égale à la taille d'un atome.
↑ La recherche, n°392, Décembre 2005, L'indispensable nombre π
↑ site de bailey
↑ Voir page de Simon Plouffe
↑ Pour plus de détail voir Fraction continue et approximation diophantienne#Nombre de Pythagore
↑ La recherche, n°392, Décembre 2005, L'indispensable nombre π
↑ octobre 2008
↑ Conférence de Jean-Paul Delahaye, le nombre pi est-il simple ou compliqué (réponses aux questions des auditeurs) consultable ici
↑ Publié pour la première fois par the academy, d'après la Revue scientifique, 1905. Les quatre premiers vers sont connus en 1846, dans Le livre des singularites, Gabriel Peignot, G. P. Philomneste
↑ (en)Sloane Neil J.A., Encyclopédie électronique des suites entières, Sloane A005042 (page consultée le 19 octobre 2008) <http://research.att.com/projects/OEIS?Anum=A005042>

Livres

Jean-Paul Delahaye, Le fascinant nombre π, Éditions Belin, Pour la Science - ISBN 2-9029-1825-9
Pierre Eymard, Jean-Pierre Lafon, Autour du nombre Pi, Éditions Hermann, Paris, 1999 - ISBN 2705614435
Jörg ARNDT & Christoph HAENEL : À la poursuite de π, Éditions Vuibert, 2006 - ISBN 2-7117-7170-9

Liens externes

(fr)Plus de 500 décimales !
(fr)Nombreuses informations historiques et mathématiques sur pi dans pi314.net
(en)Site permettant une recherche de chiffres dans les 200 000 000 premières décimales
(en)le site Wolfram Mathematics compile de nombreuses formules pour π

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