Règle de d'Alembert

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La règle de d'Alembert, qui doit son nom au mathématicien français Jean le Rond d'Alembert, est un outil d'étude de convergence pour une série à termes positifs. Elle permet donc d'établir la convergence absolue d'une série à termes complexes ou vectoriels.

Énoncé simplifié

Soit (x_n)\, une suite de réels strictement positifs. On suppose que la limite suivante existe :

p=\lim_{n \to +\infty}\frac{1}\frac{|x_n|}{|x_{n+1}|}=lim_{n \to +\infty}\frac{|x_{n+1}|}{|x_n|}
  • si p est strictement inférieur à 1 alors la suite (x_n) \, converge vers zéro et même la série de terme général (x_n) \, est convergente.
  • si p est strictement supérieur à 1, alors la suite ne tend pas vers 0, donc la série diverge grossièrement.
  • si p vaut 1, on ne peut pas conclure : c'est le cas douteux de la règle de d'Alembert
On peut alors essayer une règle plus précise, la règle de Raabe-Duhamel.

La règle de d'Alembert peut être employée pour prouver la convergence absolue d'une série à termes dans un espace vectoriel normé E. Notamment, si E est complet (par exemple si E=C), la série est convergente.

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